Rasio Emas (Golden Ratio)

Tahu kah anda, ternyata tubuh manusia tersusun dengan proposi yang tepat, perbandingan yang akurat. Bahkan nilai perbandingan serupa ditemukan pula pada hal lain, seperti susunan bunga dan bahkan pada bangunan piramida. Perbandingan tersebut dikenal sebagai golden ratio.

Apakah Golden Ratio itu?

Dari segi bahasa Golden Ratio terdiri dari dua kata, yaitu gold yang berarti emas, dan ratio yang berarti perbandingan. Jadi, secara bahasa golden ratio bisa kita terjemahkan sebagai "perbandingan emas". Eits, tapi tunggu dulu bro, jangan kalian bayangkan emas disini emas dalam arti sebenarnya ya, apalagi berbentuk perhiasan, hehe. Kata "emas" di sini hanya berupa kata kiasan, "golden ratio" (perbandingan emas/rasio emas) menunjukkan bahwa ratio (perbandingan) yang kita bahas saat ini merupakan perbandingan yang berharga, istimewa layaknya emas. Kenapa berharga? Karena rasio emas ini diyakini sebagai proporsi ideal dan memiliki nilai estetika tinggi.

Yang namanya rasio atau perbandingan, tentu setidaknya ada dua nilai yang kita bandingkan, lalu perbandingan seperti apakah yang di katakan sebagi golden ratio (rasio emas) itu?

Dua nilai dianggap berada dalam hubungan rasio emas $(\varphi)$ jika rasio antara jumlah kedua nilai itu terhadap nilai yang besar sama dengan rasio antara nilai yang besar terhadap nilai yang kecil.

untuk lebih memahaminya perhatikan ilustrasi berikut:

Misal kita mempunyai ruas garis $a$ dan $b$ dengan $a\gt b\gt 0$ (lihat gambar di bawah):

rasio emas terjadi jika:

$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$

Sederhana bukan?

Oh ya, perlu diketahui juga bahwa Golden Ratio (rasio emas) memiliki sebutan lain, diantaranya: sectio aurea (bagian emas), extreme and mean ratio (rasio ekstrem dan rata-rata), medial section (bagian tengah), divine proportion (proporsi ilahiah), divine section (Latin: sectio divina), golden proportion (proporsi emas), golden cut, dan golden number. Dalam artikel ini, saya akan menggunakan istilah rasio emas.

Secara umum, rasio emas disimbolkan dengan huruf ke-21 dalam abjad Yunani yaitu phi $(\varphi)$ dalam beberapa sumber bro dan sist mungkin akan menemukan rasio emas ini disimbolkan dalam bentuk tak lazim tau $(\tau)$, tau merupakan salah satu huruf Yunani yang berarti "memotong" namun simbol yang lebih umum adalah $\varphi$. Kenapa secara umum menggunakan huruf $\varphi$? alasannya nanti akan saya jelaskan pada bagian "Sejarah Golden Ratio" pada artikel ini. Jadi simak baik-baik sampai selesai ya... 😉

Berapakah Nilai dari Rasio Emas?

Jika bro dan sist dah paham seperti apa rasio emas itu, maka sekarang kita akan mencoba menentukan nilainya.

Dua nilai $a$ dan $b$ dinyatakan berada dalam rasio emas jika:

$$\varphi=\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$maka:

$$\begin{align*}\frac{a+b}{a}&=\frac{a}{b}\\1+\frac{b}{a}&=\frac{a}{b}\\1+\frac{1}{\varphi}&=\varphi\\\varphi+1&=\varphi^2\\ \varphi^2-\varphi-1&=0\\ \left(\varphi-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}&=0\\ \left(\varphi-\frac{1}{2}\right)^2&=\frac{5}{4}\\ \varphi-\frac{1}{2}&=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\\ \varphi&=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{align*}$$

Karena $\varphi$ merupakan perbandingan, sehingga tidak mungkin nilainya negatif, maka nilai yang memenuhi adalah $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ atau dalam bentuk desimal $\varphi=1,6180339887\cdots$
Perlu diketahui bahwa $\varphi$ juga merupakan bilangan irasional.

Nilai rasio emas $(\varphi)$ lebih lengkap dalam berbagai bentuk lihat tabel berikut:

Sumber: Wikipedia

Sejarah Golden Ratio

Sebenarnya tidak ada informasi pasti kapan pertama kali angka menakjubkan ini ditemukan dan mulai dikenal umat manusia. Dari informasi yang saya coba gali, ternyata begitu banyak nama yang terlibat di dalamnya, bahkan konon katanya rasio emas ini selama 2.400 tahun telah memikat/menarik perhatian kaum intelektual dari berbagai bidang disiplin ilmu, seperti bidang matematika, fisika, biologi, seni, sejarah, arsitektur, ekonomi, bahkan ahli bidang mistik pun memperdebatkannya. Sungguh luar biasa bukan?

Rasio Emas Digunakan dalam Arsitektur Mesir Kuno dan Yunani

Rasio Emas pada Piramida

Banyak orang yang meyakini dalam pembangunan piramida, orang-orang mesir dahulu sudah menggunakan rasio emas dalam disain kontruksi bangunan Piramida, termasuk Partenon di Yunani.

Golden Ratio dalam Parthenon

Phidias (500 SM - 432 SM), merupakan seorang pemahat dari Yunani yang konon menurut sejarah doi selalu menggunakan rasio emas (golden ratio) dalam disain patung-patung yang ia buat, di antaranya pahatan dan patung pada Parthenon.

Ditemukannya Deret Fibonacci Pada Sekitar Tahun 1200

Leonardo da Pisa (1170 - 1250) dikenal sebagai Fibonacci, menemukan sifat-sifat tak biasa dari barisan bilangan, yang kini menyandangkan namanya pada barisan bilangan tersebut (barisan bilangan/deret Fibonacci). Namun tidak dapat dipastikan apakah Fibonacci sendiri menyadari adanya keterkaitan antara barisan bilangan yang ia temukan dengan rasio emas atau tidak. Sebagai informasi tambahan, Liber Abaci merupakan karya Fibonacci yang memberikan sumbangan besar dalam matematika.

Dikenal Sebagai "Rasio Ilahi" Sekitar Tahun 1500

Luca Pacioli (1447 - 1517) seorang matematikawan dan juga biarawan asal Italia, dalam karyanya De Divina Proportione diduga menjadi orang pertama yang menyebut rasio emas sebagai "rasio ilahi". Di dalam buku tersebut terdapat gambar-gambar ilustrasi hasil karya Leonardo Da Vinci, ada dugaan Davinci merupakan orang pertama yang menyebutkan "sectio aurea" yang berarti "bagian emas" dalam bahasa latin.

Karya Lenardo Da Vinci

Michael Maestin (1550 - 1631) diketahui sebagai orang pertama yang menyatakan rasio emas dalam bentuk desimal.

Johannes Kepler (1571-1630), penemu sifat elips dari orbit planet di sekitar matahari, juga menyebutkan "Proporsi Ilahi," serta menyebut rasio emas sebagai "permata berharga".

Dikenal Sebagai "Rasio Emas" Sekitar Tahun 1800

Martin Ohm (1792-1872) diyakini sebagai orang pertama yang menggunakan istilah "Rasio Emas" untuk menggambarkan rasio emas yang termuat dalam bukunya berjudul Die Reine Elementar-Mathematik (Matematika Dasar Murni) yang di terbitkan tahun 1815.

Simbol phi $( \varphi )$ Digunakan pada Rasio Emas Sekitar Tahun 1900

Pada tahun 1900, seorang matematikawan Inggris bernama Mark Barr menggunakan huruf Yunani Phi $( \varphi )$ sebagai simbol dari rasio emas. Phi yang di gunakan bisa huruf kecil $(\varphi)$ bisa juga huruf besar $(\phi)$.

Kenapa Huruf Phi $(\varphi)$ yang "dipilih"?

Alasan kenapa huruf $\varphi$ yang digunakan sebagai simbol dari rasio emas, hal ini berkaitan dengan beberapa orang/tokoh yang terlibat dalam sejarah rasio emas itu sendiri, di antaranya yaitu Phidias dan juga Fibonacci. $\varphi$ merupakan huruf Yunani yang setara dengan "F", jadi huruf $\phi$ mewakili huruf pertama dari Phidias dan juga Fibonacci. $\varphi$ juga merupakan huruf yang berada pada urutan ke-21 pada huruf Yunani, dan 21 termasuk ke dalam deret Fibonacci. Disamping itu, karakter $\varphi$ juga dipercaya memiliki makna teologis yang menarik.

Barisan Bilangan Fibonacci dan Rasio Emas, Apa Hubungannya?

Mungkin bro dan sist sudah gak asing dengan barisan bilangan Fibonacci, barisan bilangan yang dimulai dari o dan 1 kemudian angka berikutnya merupakan jumlah dari dua angka sebelumnya, berikut ini barisan bilangan yang dikenal dengan barisan Fibonacci:
$$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots$$
Lalu apa hubungannya dengan rasio emas?
Jika kita mecoba membuat rasio (perbandingan) setiap suku pada barisan Fibonacci dengan suku sebelumnya, atau secara matematis kita tulis $\frac{U_n}{U_{n-1}}$, maka kita akan menemukan hasil yang luar biasa, berikut ini hasil yang saya peroleh dengan menggunakan aplikasi Ms. Excel:

Pada perhitungan di atas, saya mengambil tiga angka di belakang koma, perhatikan bilangan yang saya tandai pada gambar di atas, sungguh menakjubkan, hasilnya ternyata mendekati rasio emas, "mendekati" karena perhitungan di atas merupakan hasil pembulatan.

Rasio Emas dalam Berbagai Bidang
Rasio emas $\varphi=1,618$ selama 2400 tahun telah menarik perhatian kaum intelektual dari berbagai bidang disiplin ilmu, berikut ini beberapa diantaranya:

Rasio Emas pada Bidang Biologi
Rasio emas ternyata banyak ditemukan di alam, ini menjadi kajian menarik dalam bidang biologi, perhatikan beberapa gambar berikut ini:

Persegi panjang emas

Rasio Emas pada keong

Rasio Emas pada tubuh manusia

Rasio Emas terdapat pada bunga

Rasio Emas terdapat pada DNA

Proporsi tangan manusia sesuai rasio emas

Rasio Emas Pada Bidang Arsitektur

Berikut ini rasio emas yang terdapat pada bidang arsitektur

Rasio emas pada Parthenon

Rasio Emas pada Bidang Seni

Sejak Abad Renaisans, banyak seniman dan arsitek telah membuat proporsi karya sesuai dengan rasio emas, terutama dalam bentuk persegi emas, yaitu perbandingan sisi panjang terhadap sisi pendek sesuai dengan nilai rasio emas, dipercaya proporsi ini secara estetika sangat ideal. Sebuah persegi panjang emas dapat dipotong menjadi persegi dan persegi panjang kecil dengan rasio aspek yang sama persis.